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This book contains well-written monographs within the broad spectrum of applied mathematics, offering an interesting reading of some of the current trends and problems in this fascinating and critically important field of science to a broad category of researchers and practitioners. Recent developments in high-performance computing are radically changing the way we do numerics. As the size of problems is expected to grow very large in the future, the gap between fast and slow algorithms is growing rapidly. Novel classes of numerical methods with reduced computational complexity are therefore needed to make the rigorous numerical solution of difficult problems arising in an industrial setting more affordable. The book is structured in four distinct parts, according to the purpose and approaches used in the development of the contributions, ranging from optimization techniques to graph-oriented approaches and approximation theory, providing a good mix of both theory and practice.

This introductory guide provides a thorough explanation of the mathematics and algorithms used in standard data analysis techniques within systems biology, biochemistry, and biophysics. Each part of the book covers the mathematical background and practical applications of a given technique. Readers will gain an understanding of the mathematical and algorithmic steps needed to use these software tools appropriately and effectively, as well how to assess their specific circumstance and choose the optimal method and technology. Ideal for students planning for a career in research, early-career researchers, and established scientists undertaking interdisciplinary research.

Dans cette thèse, nous étudions des préconditionneurs creux par inverse approché pour la résolution de systèmes linéaires denses issus d'applications en électromagnétisme en formulation intégrale. L'objectif de ce travail était le développement de préconditionneurs robustes et parallèles pouvant être intégrés ultérieurement dans des codes de simulation capables de traiter des géométries industrielles de très grandes échelles. Dans un premier temps, nous avons réalisé une étude comparative des divers préconditionneurs initialement développés en algèbre linéaire creuse en les adaptant au traitement des matrices denses. En particulier, nous avons proposé une stratégie efficace permettant de définir à priori la structure creuse d'un préconditionneur basé sur un inverse approché minimisant la norme de Frobénius. Cette approche a été implantée par un autre doctorant dans un code parallèle qui exploite une méthode "fast multipole" pour le calcul de l'opération produit matrice-vecteur dans les méthodes de Krylov. Ce code nous a permis d'évaluer l'évolutivité de notre préconditionneur lors de la résolution de systèmes linéaires de taille croissante et d'en caractériser les limitations. Afin de repousser ces limitations, nous avons proposé un schéma numérique basé sur des itérations emboîtées qui nous a permis d'améliorer notablement la robustesse de notre préconditionneur sur des problèmes de grande taille. Cette technique nous a permis de réduire les coûts de calcul ainsi que de pouvoir traiter des géométries complexes telle que celle d'un avion avec plus d'un million de degrés de liberté. Enfin, nous avons également réalisé une étude préliminaire sur des préconditionneurs 2 niveaux spectraux qui exploitent des propriétés spectrales du système préconditionné.